Gauss: piv txwv ntawm kev daws thiab tshwj xeeb mob

Gauss txoj kev, tseem hu ua lub qauv ntawm cov stepwise tshem tawm ntawm tsis paub hais tias cov tsiaj ntawv, muaj npe tom qab tus mas German paub txog KF Gauss, thaum tseem ciaj sia tau txais lub unofficial title "King of lej." Txawm li cas los, qhov no txoj kev tau paub ntev ua ntej cov me nyuam yug ntawm tus nyob sab Europe kev vam meej, txawm nyob rau hauv qhov kuv pua. BC. e. Ancient Suav kws tshawb fawb tau siv nyob rau hauv nws sau.

Gauss yog ib tug classic txoj kev daws systems ntawm linear algebraic equations (Slough). Nws yog zoo tagnrho rau ib tug ceev tshuaj rau qhov limited loj matrices.

Cov kev nws tus kheej muaj ob tsiv: rau pem hauv ntej thiab rov qab. Direct kawg hu ua ib theem zuj zus qhia SLAE voos daim ntawv no, piv txwv li pes tsawg tus nqi nyob rau hauv lub ntsiab kab pheeb ces kaum. Retraction yuav lub zoo ib yam nrhiav ntawm cov tsiaj ntawv, qhia txog txhua nce mus nce los ntawm lub yav dhau los.

Kawm kom thov nyob rau hauv kev xyaum, Gauss yog cia li txaus yuav tsum paub cov kev cai ntawm kev ua lej khu, ntxiv thiab sib rho ntawm tus xov tooj.

Nyob rau hauv thiaj li yuav qhia tau tias lub algorithm daws linear tshuab los ntawm cov qauv no, peb piav qhia txog ib tug piv txwv.

Yog li ntawd, yuav daws tau siv Gauss:

x + 2y + 4z = 3
2 x + 6y + 11z = 6
4 x-2y-2z = -6

Peb yuav tsum tau tus thib ob thiab thib peb kab los rhuav tshem ntawm cov kuj tsis paub meej x. Yuav kom qhov no peb ntxiv rau nws cov thawj khoo -2, thiab -4, ntsig txog. peb tau txais:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-10y-18z = -18

Tam sim no lub 2nd kab muab los ntawm 5 thiab ntxiv mus rau lub thib peb:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-3z = -18

Peb coj peb cov system mus rau ib tug voos daim ntawv. Tam sim no peb nqa tawm rov qab. Peb pib nrog cov kab kawg:
-3z = -18,
z = 6.

Qhov thib ob kab:
2y + 3z = 0
2y + 18 = 0
2y = -18,
y = -9

Cov thawj kab:
x + 2y + 4z = 3
x-18 + 24 = 3
x = 18-24 + 3
x = -3

Pauv qhov tseem ceeb ntawm lub zog nyob rau hauv cov ntaub ntawv, peb tau soj ntsuam xyuas lub correctness ntawm cov kev txiav txim siab.

Qhov kev piv txwv muaj peev xwm yuav daws tau ib tug ntau ntawm lwm yam hloov, tab sis cov lus teb yuav tsum tau tib yam.

Nws thiaj li tshwm sim hais tias tus ua cov ntsiab ntawm cov thawj kab cov txheej txheem heev me me qhov tseem ceeb. Nws tsis yog scary, tab sis, theej complicates cov lus teb. Cov tshuaj yog Gauss nrog pivoting rau ib kem. Nws essence yog raws li nram no: tus thawj kab ntawm lub siab tshaj plaws nrhiav modulo caij, sab nyob rau hauv uas nws yog nyob, hloov chaw nrog lub 1 kem, uas yog peb tshaj plaws lub caij ua lub thawj lub caij ntawm lub ntsiab kab pheeb ces kaum. Tom ntej no yog ib tug txheej txheem muab xam txheej txheem. Yog hais tias tsim nyog, tus txheej txheem kev hloov lub kab nyob rau hauv ib txhia qhov chaw yuav tau rov qab.

Lwm version ntawm tus qauv yog cov qauv ntawm cov Gauss Gauss-Jordan.

Nws yog siv rau kev daws linear tshuab square, thaum lub rov qab matrix ntawm lub matrix thiab qib (tus naj npawb ntawm nonzero kab).

Lub essence ntawm no txoj kev yog hais tias tus thawj system yog hloov los ntawm kev hloov nyob rau hauv lub keeb matrix nrog ib tug ntxiv nrhiav cov tsiaj ntawv.

Lub algorithm yog hais tias nws:

1. Cov kev sib npaug yog, raws li nyob rau hauv cov qauv ntawm cov Gauss, ib cov voos daim ntawv.

2. Txhua txoj kab yog muab faib mus rau hauv ib lub xov tooj nyob rau hauv xws li ib tug txoj kev uas lub tsev tau muab rau ntawm lub ntsiab kab pheeb ces kaum.

3. Cov kab kawg yog multiplied los ntawm ib tug tej yam muaj pes tsawg tus thiab rho tawm los ntawm cov penultimate thiaj li tsis tau nyob rau hauv lub ntsiab kab pheeb ces kaum 0.

4. Kauj ruam 3 yog pheej rov qab ua sequentially rau tag nrho cov kab kom txog rau thaum nws thiaj li tsis tsim lub tsev matrix.